最近遇到一道非常有趣的题目，题目大意如下：有一个富翁在银河系里做生意，而银河系使用的是罗马数字，所以他需要一个精明能干的助手，帮助他完成罗马数字与阿拉伯数字的相互转换，题目在这个背景下衍生出交易场景，我们需要帮助他计算出相关商品的价格。对于这道题目，如果剥离开这个题目本身的交易场景，这道题目本质上就是一个纯粹的算法问题。说来惭愧，博主当时并未能快速地解决这个问题，事后通过研读别人的文章始能有所领悟。所以，今天想在这篇文章里，同大家一起来讨论下这个问题。今天，全世界都在使用 0 到 9 这 10 个阿拉伯数字，比阿拉伯数字早 2000 年的罗马数字。为什么没有流传下来为后世所用呢？我觉得这是一个非常有意思的问题，数学同计算机学科间那种千丝万缕的联系、技术演进过程中若有若无的某种必然性……这些都是令我觉得非常有意思的地方。那么，一起来看看这个问题可好？

罗马数字起源

罗马数字，顾名思义，就是古罗马人使用的数字系统。在罗马数字中，共有 7 个基本数字，即 I、V、X、L、C、D、M，它们分别表示 1、5、10、50、100、500、1000。可以注意到，在这套数字系统中，0 不被视作是一个整数。据说，曾经有一位罗马学者不顾教皇的反对，执意将与 0 相关的知识以及 0 在运算中的作用向民众传播，因此被教皇囚禁并投入监狱，理由是 0 是一个邪物，破坏了神圣的数。同样罗马数字无法表示小数(注：罗马数字有分数的表示方法，可仅仅能表示 1/12 的整数倍)，因此罗马数字常常用来表示纪年，在欧洲国家的古书籍、建筑和钟表中，我们都可以见到罗马数字的身影。我们熟悉的元素周期表，同样采用了罗马数字来表示元素所在的"族"。需要说明的是，罗马数字是一种计数规则，而非计算规则，这意味者罗马数字是没有进位和权重的概念的，所以一般罗马数字只用以计数而不用以演算。

既然罗马数字是一种计数规则，那么我们就不得不说一说它的组合规则，因为 4000 以内的数字，都可以用这 7 个基本数字组合表示。具体来讲，罗马数字的基本规则有以下 4 条：

重复次数：**一个数字重复多少次，所表示的数字就是这个罗马数字的多少倍；一个罗马数字最多重复三次。**这条规则该怎么理解呢？第一点，I、II、III 分别表示 1、2、3；第二点，4 必须被表示为 IV，而不是 IIII。关于 4 的表示方法，在历史上一直存在争议，一种观点认为 IIII 这种写法占用书写空间，IV 可以达到简化书写的作用；而一种观点则认为 IV 有亵渎神灵朱庇特、含不敬侮辱之意。
左减原则：当一个较小的数字被放在一个较大数字的左边时，所表示的数字等于这个大数减去这个小数，且左边最多只能放一个较小的数字。联系第一条原则，IV 表示的实际上是 V-I，所以这个数值表示 4；同理，9 为了满足第一条原则，必须被表示成 IX。
右加原则：当一个较小的数字被放在一个较大数字的右边时，所表示的数字等于这个大数加上这个小数，且右边最多只能放一个较小的数字。这一条原则和第二条原则相对应，例如 11 会被表示成 XI、21 会被表示为 XXI，以此类推。
搭配原则：I 只能被放在 V 和 X 的左边；X 只能被放在 L 和 C 的左边；C 只能被放在 D 和 M 的左边；V、L、D 不能被放在左边。这一条可以看作对是第二条的总结，所以没有什么可说的。

好了，通过这个这些规则我们就可以组合出不同的数字，我们可以注意到这些数字呈现出 1、4、5、9 的规律。什么是 1、4、5、9 的规律呢？我们可以注意到 4 和 9 是两个特殊的数字，4 必须通过 5 左减来得到，9 必须通过 10 左减来得到，这是因为罗马数字要满足最多重复三次的原则，而 4 和 9 相对 1 和 5 的偏移量恰好是 4，所以它们的表示方法和其他数字不同。因为罗马数字没有进位和权重的概念，所以除了左减和右增这两种特殊情况以外，它的基本数字应该从左至右依次递减，即使在左减的情况下，左边的数字应该和右边的数字处在同一序列。这句话怎么理解呢？例如，90 必须用 100-10 来表示；而 99 必须拆解为 90 和 9，然后分别用 100-10 和 10-1 来表示，唯独不能通过 100-1 来表示，因为 100 和 1 分属两个不同的序列。

数字转换实现

了解完罗马数字的历史渊源，我们就对罗马数字有了一定的了解。现在来考虑一个问题，即罗马数字和阿拉伯数字间的相互转换。罗马数字的确是古罗马人发明的，可阿拉伯数字实际上却是古印度人发明的。今天全世界人都在使用阿拉伯数字，因此这两者间需要一个转换器，这正是我们一开始所讨论的问题：假如银河系里的人们都使用罗马数字来计数，当一个地球上的富翁来到银河系以后，他要如何去和这里的人们进行交易。显然，这种转换应该是双向的，我们下面分别来看如何实现相应的转换。

阿拉伯转罗马

首先来考虑阿拉伯数字转罗马数字，因为一个罗马数字必然是从左到右依次递减，所以我们只需要将这 7 个基本数字从大到小排列，找到第一个不小于指定数字的数位即可。例如 1024 显然超过了 1000，而罗马数字中的 1000 对应 M，因此 1024 的第一位应该是 M。接下来 24，显然超过 10，因此 1024 的第二位数字应该是 X。接下来 14，显然超过 10，因此 1024 的第三位数字同样是 X。接下来 4，这是一个特殊的数字，需要被表示为 IV，这是 1024 的第四位数字。我们将整个过程串联起来，就可以得到 1024 的罗马数字形式 MXXIV。我们注意的一点是，这里需要 4 和 9 这两个数字作为辅助数字，因为 1 到 3、6 到 8 的数字，我们总可以通过不断地重复 1 来得到，就像辗转相除法一样。如果没有这两个辅助数字会怎样呢？4 会变成 IIII，而 9 会变成 VIIII，显然这是不符合我们预期的。整理下我们的思路，这段代码实现如下：

public static string ConvertToRoman(int number)
{
    var output = new StringBuilder();
    var digitMap = new Dictionary<int,string>()
    {
      {1,"I"},{4,"IV"},{5,"V"},{9,"IX"},
      {10,"X"},{40,"XL"},{50,"L"},{90,"XC"},
      {100,"C"},{400,"CD"},{500,"D"},{900,"CM"},
      {1000,"M"}
    };
    var digits = digitMap.OrderByDescending(e => e.Key).ToList();

    for (int i = 0; i < digits.Count && number > 0; i++)
    {
        if (number < digits[i].Key) continue;
        while (number >= digits[i].Key)
        {
            number -= digits[i].Key;
            output.Append(digits[i].Value);
        }
    }

    return output.ToString();
}

罗马转阿拉伯

接下来考虑罗马数字如何转换为阿拉伯数字，我们可以明确的一点是，罗马数字基本上是从左到右依次递减排列的，每一个数字的左侧和右侧出现的数字一定处于当前数字的同一序列。比如，I 只能被放在 V 和 X 的左边；X 只能被放在 L 和 C 的左边；C 只能被放在 D 和 M 的左边。因此，我们从左到右依次遍历整个字符串，将每个字符转化为对应的阿拉伯数字然后累加即可，需要注意的是，当当前元素小于下一元素时，表示当前元素为负数；当当前元素大于下一元素时，表示当前元素为正数。显然，这里最后一位应该是正数，因为它没有下一个元素可以比较。至此，我们梳理出整个思路：从第一位到第 n-1 位依次循环，判断当前元素的正负然后累加，再加上最后一位元素的值即可。下面是代码实现：

public static int ConvertToNumber(string romanNumber)
{
    var number = 0;
    var length = romanNumber.Length;
    var digits = new Dictionary<string,int>()
    {
      {"I",1},{"V",5},{"X",10},{"L",50},{"C",100},{"D",500},{"M",1000}
    };

    for (int i = 0; i < length - 1; i++)
    {
        //前面 n-1 位数字通过左右比较决定正负 & 第 n 位数字必然为正
        if ((digits[romanNumber[i].ToString()] >= digits[romanNumber[i + 1].ToString()]) || i + 1 >= length)
        {
            number += digits[romanNumber[i].ToString()];
        }
        else
        {
            number -= digits[romanNumber[i].ToString()];
        }
    }
    return number;
}

为什么会溢出

相信上面这两段代码，大家都已然把玩过了。可我们仔细想想，就会觉得这事儿不靠谱。前段时间网络上一直流传着，我们这些佛系青年正在被同龄人抛弃。这个题目里我们所面对的，可是一个来自地球的的富翁啊！富翁的钱不都是按亿来计数的吗？我们没有一个亿这样的小目标，我们的目标是月入 5 万啊，这是一个社会上流行的说法。好了，回到这个题目中来，如果我们输入 50000 这个阿拉伯数字，它会输出什么呢？答案是 50 个 M，这很罗马数字啊，当然更神奇的事情是什么呢？当我们尝试把这由 50 个 M 组成的罗马数字转换为阿拉伯数字时，会发现它不能像我们期望地输出 50000，而会变成是一个负数。为什么这里是负数呢？答案是溢出啦！

过去，我们常常听到”溢出“这个词儿，最常见的是数据溢出。为什么会发生数据溢出呢？因为我们定义的数据超过了计算机所使用的数据的表示范围。这一点我们可能无法理解，一个相对粗浅的认识是，现代计算机的内存已经大到非常客观，甚至我们的硬盘都已经使用 TB 这样的容量单位，为什么还是会发生数据溢出呢？回到罗马数字这个问题，我们发现一个残酷的事实是，古罗马人并没有定义 1000 以上的数字表示，这或许和古罗马人发明数字的过程有关。古人最早都是使用手指、绳结、竹筹这样的工具来计数，在人们没有接触到相当大的数字以前，人们认为这些数的表示是足够的。同样的，我们的计算机经历了从 8 位、16 位、32 位到 64 位的发展。所以，这个世界上没有任何东西是一成不变的，一个技术方案势必要随着业务演化而扩展。

我们前面曾提到，这 7 个基本数字可以表示 4000 以内的数字，为什么是 4000 以内呢？因为根据罗马数字最多重复三次的规则，我们应该用 5000-1000 来表示 4000，可问题是这 7 个基本数字中并没有 5000 的定义，这和计算机中的数据溢出是非常相似的，因为我们都无法通过现有的构造去描述一个新的东西。这和数学上的那些”扩充“有着极其相似的地方，当我们意识到所有的数不都是整数的时候，我们引入了分数/小数；当我们意识到所有的数不都是有理数的时候，我们引入了无理数；当我们意识到所有的数不都是实数的时候，我们引入了虚数。在数学上，这叫做数的扩充；在计算机里，这叫做数据溢出。数学作为一本学科，可以通过完善理论来自圆其说；而编程语言里数据结构，是在一开始就定义好的一套规范，它无法更不应该经常去修改，关于如何去解决程序中数据溢出的问题，这已然是一个新的问题了，不过我们可以看看古罗马人是怎么做的。

聪明的罗马人自然想到了这个问题，他们提出的解决方案是这样的：在一个数字的上面加一条横线，表示这个数增值 1000 倍。所以，按照这个定义，4000 应该由 IV 变化而来，9000 应该由 10000 变化而来，而 10000 则可以看作是 10 的 1000 倍，即 10000 应该由 X 变化而来。我们在最初的规则中为什么没有说这一条呢？因为在数字上面增加一条横线，这更接近一个书写的行为，它增加了我们程序解析的难度，当一个数字的上面出现横线以后，我们就不能再按照原来的方式去转换。所以，考虑这个因素，实际上还是为了简化问题本身，这道题目中同样回避了这个问题。罗马人这个想法的确很好，可以解决眼下我们所面临的问题，可时间久了以后，罗马人发现这套计数规则书写了繁琐复杂，因而这套规则渐渐地就被人们放弃了。在 2015 年意大利官方宣布，国内街道编码、文件编码等全部废弃原有的罗马数字，改为使用阿拉伯数字。

选择阿拉伯数字

历史最终选择了阿拉伯数字，而不是罗马数字，这并不是一个巧合，尽管罗马数字要比阿拉伯数字早 2000 年。罗马数字的缺陷不仅仅在于其书写的繁杂，一个更重要的原因是，它不能更好地推动数学学科的发展。罗马人发明罗马数字的目的是为了计数，可一旦产生了数，就势必会产生计算。可我们发现罗马数字并不适合计算，因为它对数字的构造并不是正交的。一个最为直观的例子是，数字可能会用一个字母、两个字母或者三个字母来表示，如果两个数字要进行加减法，我们会发现它的数字是无法”对齐“的，你必须非常小心地分清楚不同的数位，而罗马数字恰好是没有数位的概念的。同样，当数字加减时会产生进位或者借位，罗马数字的构造会导致牵一发而动全身，因为任何一个中间步骤，我们都必须将其记录下来，记录的代价是将整个结果重写。反观阿拉伯数字，0 到 9 共 10 个数字可以表示一切，形式上的统一让计算更加便捷，书写更为简洁，这套定义可以扩展到无限大的数上面去，可以扩展到小数、分数甚至无理数、虚数。这是否意味着，一个统一化的定义或者构造，更适合去做相关的运算流程或者逻辑流程呢？

本文小结

本文从一道有趣的题目作为引子，引出这篇文章的主题：罗马数字。我们首先为大家回顾了罗马数字的历史渊源。罗马数字是一种由古罗马人创造的数字系统，这套数字系统主要的用途是进行计数。罗马数字由 I、V、X、L、C、D、M 共 7 个基本数字组成，其基本规则是最多重复三次、左减右增。接下来，我们分析了罗马数字与阿拉伯数字相互转换的规律，并提供相关代码实现。在当前方案的基础上，我们引出了罗马数字中的”4000“问题，联系计算机中的数据溢出的相关概念，我们分析了为什么当罗马数字超过 4000 时会发生”溢出“，以及罗马人是如何解决这个问题的。虽然罗马数字比阿拉伯数字早 2000 年，可历史最终选择了阿拉伯数字，这里我们简要地分析了原因，因为罗马数字并不适合计算，而数字作为数学的基本要素，一个不能被运用到计算出的数字系统，最终免除不了被人们抛弃的命运。好了，这篇五一节前的文章就是这样啦，4 月再见！